The amazing story of Geometry

The problem of figuration of space is quite an ancient matter. Euclid's Elements first proposed a set of rules Mathematic(ian)s should use to infer "geometrical" properties of a suitable conglomerate of objects (points, lines and polygons in the plane). It's worth to say that formally speaking Euclid's Elements are inconsistent (one of the first theorems in Euclid's book gives a recipe to build an equilateral triangle having prescribed side, but nothing prevents the two circles needed in this construction from having empty intersection); nonetheless its work is worth to be considered the first piece of abstract Mathematics: a set of objects (points and lines) and a bunch of inference rules (the relation of incidence, some formal properties of such relation, mimicing the "natural" behaviour of forms in physical space) is all one needs to do "Geometry".

Jump forward to the IX century and you'll meet (Abū Jaʿfar Muhammad ibn Mūsā) al-Khwārizmī, commonly accepted by mathematical storiography as the father of Algebra. Astronomer, philosopher, mathematician, he joined both the work of Diophantus and Brahmagupta to obtain the first set of rules to handle with quadratic equations. He classified "all the different types" of degree-two equation and proposed both an algebraic and a geometrical way of solution: every algebraically solvable problem, lacking a geometrically evident solution, has to be considered incomplete: no "algorithm" (the european word is nothing but al-Khwārizmī's name) can stand alone to justifiy a solving procedure.

Rene Descartes has to be considered the father of analytical geometry. He was the first to state the abstract principle modern Geometry is made of: a geometric problem can be translated in an algebraic one via coordinates. A precise knowledge of the rules governing the algebraic equations defining a subset on the plane totally equals a precise knowledge of the space itself. Numbers are points on a line; a conic is the closed curve arising as the set of zeroes of a degree-two polynomial in x and y; any polynomial of degree n defines a precise curve on the plane: this is made by two simpler curves if and only if the polynomial can be factored as a product.

If only Kant knew more Geometry! Space is not a "pure form" of epistemic intuition; it is determined by a more atavic concept, the primeval idea of a coordinate system. Husserl viewed Geometry as the obvious science of space, and Algebra as the natural mathematization of time: but the idea of an interplay between the two dimensions is quite more ancient than Einstein's theory of relativity.

William Rowan Hamilton sits just in the middle of the story. He wanted to find a plausible algebraic model in which to write down Maxwell's equations (involving pseudo-vectorial objects, elements of structures now called Clifford-Hamilton alegbras). Its tentative quaternionic geometry fails to be the right idea: the natural metric on the space of quaternions fails to model the natural metric on space-time, because their signatures don't coincide (the latter space admits isotropic vectors, pointing the direction where light beams propagate). Pseudovectors seem not to be the right object to describe our universe, but a new formalism to understand the classical motion of bodies, analytical mechanics stemmed from the work of Hamilton: the new formalism he used to write equations of motion of a body, projecting them on the cotangent bundle of the configuration space, constituted the formalism in which Quantum Mechanics was written a century after Hamilton.

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Yet to be translated...

Parallelamente a questo problema, la scuola italiana di geometria algebrica, attiva in varie citta' del nord-Italia, tenta di risolvere un problema ben più angolare.Tale scuola ha fortemente risentito della impostazione tedesca di Riemann, Hilbert ed Emmy Noether. Su Emmy Noether si potrebbe scrivere a lungo: dall'algebra astratta alla meccanica celeste non vi è campo che essa non abbia pervaso di idee profonde. Eppure (ovviamente) venne sempre osteggiata dall'ambiente accademico: Questo edificio, da università, è stato reso un bagno pubblico! si lamentavano. L'idea di Emmy è che ad ogni curva algebrica, definita come luogo degli zeri di un polinomio, si potesse associare un anello, detto anello delle coordinate. Questo oggetto doveva codificare le proprietà geometriche traducendole in proprietà numeriche, algebriche, e certi sottoinsiemi dell anello (i suoi ideali primi) avrebbero dovuto mimare il comportamento della topologia della curva: "(gl)i (ideali) primi sono punti", scriveva laconicamente. Rapidamente si dovette combattere con questo problema: so passare da una curva a un anello, e so che le proprietà geometriche vengono tradotte in certe proprietà algebriche dell'anello stesso. Posso rovesciare questa corrispondenza, e pensare che ad un oggetto algebrico, per quanto bizzarro e selvatico esso sia, corrisponda sempre un oggetto geometrico? Posso estendere il "dizionario" con cui un problema geometrico ha una soluzione algebrica ad uno col quale un problema algebrico si possa "disegnare" e coinvolga un ente geometrico? Pensate a quanto è stato cardinale in Teoria dei Numeri poter passare biiettivamente da un linguaggio all'altro e capirete quanto centrale il problema sia. Ecco in poche parole il merito di Alexander Grothendieck: dimostrare che questo dizionario esiste, insegnarci a leggerlo, proporre ulteriori generalizzazioni all'idea per cui "l'algebra è geometria passata attraverso lo specchio". Il problema della rappresentazione dello spazio, connesso al problema della soluzione di equazioni, connesso al problema della coordinatizzazione di uno spazio astratto, connesso al problema della logica, altamente non-booleana (ovvero basata su piu valori di verità che non 0-falso e 1-vero), che siamo costretti a trattare studiando la fisica, connesso all'evidente problema ermeneutico che tutti loro portano con sè...