Golygons

per semplificare la questione ed evitare simmetrie, rotazioni e rotture di cazzo il primo lato di lunghezza 1 sarà orientato orizzontalmente verso dx

dato un generico goligono di N lati:
- la sommatoria dei lati dispari sarà N²/4
- la sommatoria dei lati pari sarà N²/4 + N/2

affinché il goligono sia chiuso:
- i lati dispari che vanno a dx devono avere sommatoria uguale a quelli che vanno a sinistra, pari a N²/8
- i lati pari che vanno in alto devono avere sommatoria uguale a quelli che vanno in basso, pari a N²/8 + N/4

Dimostrazione che i goligoni devono necessariamente avere numero di lati multiplo di 8 - i lati pari che vanno in alto devono avere sommatoria uguale a quelli che vanno in basso, pari a N^2/8 + N/4</blockquote>ipotizziamo per assurdo che N sia multiplo di 4 ma non di 8, allora può essere scritto nella forma N = 4A dove A è un intero dispari.
allora la sommatoria verso l'alto (o basso) dei lati pari sarà N^2/8 + N/4 = 2A^2 + A

ma se A è dispari ==> 2A^2 + A è dispari ==> impossibile perché una sommatoria di numeri pari deve essere per forza pari ==> A deve essere pari ==> N deve essere divisibile per 8

Number of serial isogons of order 8n (or Golygons). 1, 28, 2108, 227322, 30276740, 4541771016, 739092675672, 127674038970623, 23085759901610016, 4327973308197103600, 835531767841066680300, 165266721954751746697155, 33364181616540879268092840

REFERENCES

L. Sallows, M. Gardner, R. K. Guy and D. E. Knuth, Serial isogons of 90 degrees, Math. Mag. 64 (1991), 315-324.

N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences, Academic Press, 1995 (includes this sequence).